目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}=\text{常量}}}\text{（推广到椭圆：}r\to a\text{，长半轴）}$$

适用范围/假设：

• 圆轨道近似：轨道半径 $r$ 恒定（推导末尾说明向椭圆的推广 $r\to a$）。
• 中心天体质量 $M$ 远大于绕行者质量 $m$（$M\gg m$），可视 $M$ 为静止、$r$ 为到其质心的距离。
• 引力是唯一作用力，并且恰好充当向心力（$F_Z=F_G$）。
• 牛顿力学适用（$v\ll c$、弱引力场）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$F_Z=m{\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$	Zentripetalkraft	✅ S. 2 („Zentripetalkraft $F_Z=m{\omega }^{2}r=\frac{m{v}^2}{r}$")
$F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz	✅ S. 2 („Frequenz")
$v=\omega r$	Bahngeschwindigkeit	❌ 不在 Formelnheft——考场需自己写出（可由 S. 2 的 $a_Z={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}$ 两种写法对比立即得到：${\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}\Rightarrow v=\omega r$）
${\left({\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^3$	3. Keplergesetz（比值形式）	✅ S. 2 („3. Keplergesetz")——见下方「与 Formelnheft 比值形式的关系」

推导（Schritt für Schritt）

1. 写出角速度与周期的关系（这是纯定义：转一整圈即 $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi$，耗时 $\mathrm{\Delta }t=T$；等价地由 S. 2 的 $\omega =2\pi f$ 与 $f=1/T$ 组合）：$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$
2. 写出轨道速度与角速度的关系（同一角速度下，外侧的点在相同时间走过更长的弧：弧长 $=\phi \cdot r$，除以时间得 $v=\omega r$；或由 $a_Z$ 的两种写法对比）：$$v=\omega \cdot r$$
3. 用 $\omega$ 表示向心力（把第 2 步的 $v^2={\omega }^2{r}^2$ 代入 S. 2 的 $F_Z=\frac{m{v}^2}{r}$，这样后面代入 $\omega =2\pi /T$ 更直接）：$$F_Z=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$
4. 建立力的平衡 $F_Z=F_G$（物理核心步骤：行星没有被绳子拉着，引力就是使它拐弯的向心力——这是允许令二者相等的理由）：$$m{\omega }^{2}r=G\frac{M\cdot m}{r^2}$$
5. 约去绕行者质量 $m$（$m$ 在两边都以一次方出现且 $m\ne 0$，允许相除；物理含义：轨道与绕行者质量无关——卫星无论轻重，同一轨道同一周期）：$${\omega }^{2}r=\frac{GM}{r^2}$$
6. 两边除以 $r$（纯代数整理，把所有 $r$ 收到右边；注意不是「约掉」，右边幂次升为 $r^3$）：$${\omega }^2=\frac{GM}{r^3}$$
7. 代入 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ 并平方（把几何量 $\omega$ 换成可观测量 $T$：${\omega }^2=\frac{4{\pi }^2}{T^2}$）：$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}=\frac{GM}{r^3}$$
8. 交叉整理，把变量 $T,r$ 与常量分边（两边同乘 $\frac{T^2}{GM}$ ——目标形式即得）：$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$$右边只含 $G$ 与中心质量 $M$ → 对同一中心天体的所有绕行者都是同一常量。
9. 推广 $r\to a$（圆 → 椭圆）——只作说明，不冒充严格证明：开普勒第一定律说真实轨道是椭圆。牛顿在其完整理论中证明：上式对椭圆轨道依然成立，只需把 $r$ 换成长半轴 $a$：$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$严格证明需要对椭圆轨道求解运动方程（结合面积定律），超出口试范围；圆轨道推导给出的常量 $\frac{4{\pi }^2}{GM}$ 恰与椭圆情形一致——口试时主动点明这里只对结论作说明。

与 Formelnheft 比值形式的关系

Formelnheft S. 2 给的是比值形式 ${\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^2={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^3$，不含常数。两者的关系：

• 由第 8 步：对绕同一 $M$ 的两个天体，$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$。把左边两项交叉整理（两边同乘 $\frac{r_1^3}{T_2^2}$）即得比值形式——比值形式是带常数形式的直接推论。
• 反之，比值形式只说「常量对所有行星相同」，不告诉你常量是多少；要测中心质量 $M$（下方算例），必须用推导给出的带常数形式 $\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$。

真题级算例 ★：由地球轨道求太阳质量

已知地球轨道：$T=1\text{a}=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\text{s}$（务必换算成秒！），$a=\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}\text{m}$。把第三定律对 $M$ 求解：

$$M_{\odot }=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}$$

逐步代入（$G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$，Formelnheft S. 1）：

1. $a^3=(\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}{)}^3=\mathrm{3,348}\cdot {10}^{33}{\text{m}}^3$
2. $4{\pi }^2\cdot a^3=39,48\cdot \mathrm{3,348}\cdot {10}^{33}=\mathrm{1,322}\cdot {10}^{35}$
3. $T^2=(\mathrm{3,156}\cdot {10}^7{)}^2=\mathrm{9,960}\cdot {10}^{14}{\text{s}}^2$；$G{T}^2=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{9,960}\cdot {10}^{14}=\mathrm{6,647}\cdot {10}^4$
4. $M_{\odot }={\displaystyle \frac{\mathrm{1,322}\cdot {10}^{35}}{\mathrm{6,647}\cdot {10}^4}}\approx 1,99\cdot {10}^{30}\text{kg}\approx 2\cdot {10}^{30}\text{kg}$ ✓

验算：与 Formelnheft S. 1 的 $M_S=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg 几乎完全一致。同法可由月球轨道求地球质量、由银心附近恒星轨道求中心黑洞质量——只要有东西绕着 $M$ 转，就能称出 $M$。

变量表

符号	含义	SI 单位
$T$	绕行周期（转一整圈 $360°$ 的时间）	s（算例务必用秒）
$r$	圆轨道半径（到中心天体质心的距离）	m
$a$	椭圆轨道长半轴（推广后取代 $r$）	m
$\omega$	角速度	rad/s
$\phi$	扫过的角	rad
$f$	频率	Hz = 1/s
$v$	轨道（切向）速度	m/s
$m$	绕行者质量（推导中约去）	kg
$M$	被绕中心天体的质量	kg
$F_Z$	向心力	N
$F_G$	引力	N
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$（Formelnheft S. 1）	N·m²/kg²
$M_{\odot }$	太阳质量 $=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg（Formelnheft S. 1，„$M_S$"）	kg

关联

• H08——同一套路「令两个力相等、约去试探质量」；测 $G$ 之后才能由本式算出 $M$。
• 主题 11 §11.4——讲义原推导（九步口径一致）与「被绕质量表」。
• 主题 2 §2.2——同一平衡 $F_Z=F_G$ 解出轨道速度；§2.3 地球同步轨道即本式对 $r$ 反解。
• 主题 8 §8.7——向心力为何存在、为何是「角色」而非独立的力。